特约作者：河北 王广新
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出了一些体现函数特征的式子的一类函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等.它是中学数学中的一个难点，抽象性较强，灵活性大，解决抽象函数问题最重要的一点是要抓住函数中的某些性质，利用数学方法(如赋值法、化归法、数形结合法等)，这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题.本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：
一、利用整体代换思想求函数的定义域
【技巧总结】 这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A，求函数f(φ(x))的定义域.正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键.这类问题实质上相当于已知φ(x)的值域B，且BA，据此求x的取值范围.
【技巧总结】 这类抽象函数一般是给出定义域，某些性质及运算式来求特殊值.其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是使抽象问题具体化.
【技巧总结】 一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作是给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联.此外这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f”，转化为代数不等式求解.
【技巧总结】 根据题目中所给出的或推出的函数方程，运用递推的思想，逐步递推，发现函数具有周期性，利用周期性达到目的.
【技巧总结】 出现这类问题时应紧扣已知条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解.
【技巧总结】 解决这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中的问题时，关键是利用函数在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用.
【技巧总结】 通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现转化的重要策略.
总之，求解抽象函数问题，用常规方法一般很难奏效，但如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，真有些山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的快感.
来源：《金考卷特快专递》第6期《微刊》
