第一题
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我们看第一个问题，先看天明课堂中八年级第一讲《实数的性质》中出现过的两题：
①：已知a、b是两个任意有理数，且a＜b，求证：a与b之间存在着无穷多个有理数。
②：已知a、b是任意两个有理数，且a＜b，问是否存在无理数a，使得a＜α＜b成立？
事实上这个题并不难，考察的是实数的稠密性。遇到这类问题，通常先看结论的表达方式，一般是两种数学思想的体现：
1、否定式表达的结论一般用“反证法”；ɑ
2、结论要求证明存在性的一般用“构造法”。
当然，好的题目一般是将这两种思想结合起来用。
毕达哥拉斯说过：“数学证明的演绎推理一般是从假设出发。”
假设在所有大于1的实数中有最大数b，那么b+1是比b更大的数，与b的最大性矛盾；
假设在所有大于1的实数中有最小数c，那么是介于1和c之间且比c更小的实数，与c的最小性矛盾。
当然，这种构造是很随意的，我们可以将1和c看成线段的两个端点，然后将它n等分，构造出形如
这样的实数，然后再将1和
这个数看成线段两端，如此往复的构造，可以证明1到c中的实数有无穷多个。
第二题
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关于第二个问题，我们来看看九年级寒假自招冲刺课的第四讲《组合专题——映射与对应》中我的“开场白”。
图为天明2018寒假讲义原图
在这堂课的伊始，同学们讨论了开场的这三个问题，大家各抒己见，表现得很踊跃。
第一个问题大家没什么异议，都认为一样多；
第二个问题就有了分歧，很多同学认为正整数多于正偶数，因为正偶数是正整数的一部分；有同学认为是一样多的，因为正整数乘以2就变成正偶数了，它们之间存在“对应关系”。
这道题和“自然数和整数哪个多”，其实是同一个类型的题目！
两个无穷集合的元素多少怎么比较？或者说，能比较吗？
对于初中生来说，这个问题实际是很有难度的，因为大家对于“集合”的概念很陌生，特别是有无穷多个元素的集合。
首先，“整体大于部分”的观点仅限用于有限集，而在无限集中，“整体是可以等于部分”的。有同学难以理解，这里我们讲一个伽利略曾经提出的问题：
两条长度不等的线段AB和CD，它们包含的点哪个多？
有同学脱口而出认为线段较长的包含的点更多，因为它多出一条小线段，所以有更多的点；
我们看左边这幅图，想必大家都很熟悉，A字型嘛；
再仔细想想，你是不是悟到了什么？
没错，按图中的构造方法，线段CD上的M和线段AB上的N存在对应的关系！
M点位置的变化，通过延长EM会决定N的位置；反之N的位置的变化也可联结EN决定M的位置。
这样的关系，我们称为一一对应！所以CD上的点和AB上的点一样多！
所以这个例子告诉我们，无穷集合不能简单地说“个数”。
在集合论的发展中，特别要感谢康托尔这名伟大的数学家，他提出了一个很重要的观点：
只要两个集合（不论是有限集还是无限集）之间的元素在某个法则下能够建立起“一一对应”的关系，我们就认为它们的元素“个数”是相等的。
同时，为了避免在字面上不与人们的常识冲突，将无限集中的“个数”改为“势”，于是产生了新的概念“等势集”。
这将会是在《实变函数》或者《离散数学》中大家才能接触到的知识。
和学生们讲完“等势集”的概念后，同学们构造了正整数与正偶数的对应关系，很快认清了这两个无限集之间的关系：
即给定正整数n，可唯一对应到正偶数2n，给定正偶数2n，可唯一对应到正整数n，
它们之间存在“一一对应”的关系，所以它们是“一样多”的，或者说是“等势的”。
回到原题，将自然数从小到大排列，0对0,1对1,2对-1,3对2,4对-2,5对3,6对-3…
便有2n对-n，2n-1对n，于是我们可以构造一一对应的关系f:Z→N
（1）f(0)=0；（2）当n>0时，f(n)=2n-1；（3）当n
所以这道题的答案是一样多！
关于第三个问题，有理数多还是无理数多，上课的时候大家也讨论的火热。想一想，能从初中生的角度出发，构造“一对多”来证明吗？这里我就不详细展开了。
我经常这样和同学们比喻：
如果将整个实数集看成是一片汪洋大海的话，那么有理数集就是沧海一粟。
第三题
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最后我们看第三个问题：比较0.9 9循环和1的大小，并说明理由。
这个问题在课堂上不止一次有同学问过我，我当初给他们讲了两种方法：
第一个方法是借助芝诺悖论，讲了一个类似于龟兔赛跑的问题：即乌龟在勇士前面起跑，然后勇士要追上的乌龟的话，必须先要到乌龟所在的位置，这样每次乌龟都会往前跑一点距离，如此往复，勇士永远便追不上乌龟！！哈哈，这个当然是悖论了，怎么证明呢？
我们假设勇士的速度是乌龟的10倍，勇士每秒10个单位，乌龟每秒1个单位，都作匀速直线运动，并且他们初始位置相距9个单位，
按下图，勇士跑到乌龟的初始位置，乌龟向前跑了0.9个单位；
等勇士跑了0.9个单位，乌龟又向前跑了0.09个单位；
以此类推，乌龟的路程为0.9+0.0.9+0.009+0.0009+…=0.9 9循环
实际追上的时候乌龟跑的路程为9÷（10-1）×1=1个单位，∴0.99循环=1
也可以设0.9 9循环为x，则10x为9.9 9循环，作差得到9x=9，所以x=1（这个设法其实不大严谨哦，先要说明0.9 9循环是有上界的，上界显然是1）。
这个故事告诉我们，无穷多个数的和不一定趋向于无穷大。
到了高中学习了数列和极限，其实就是一个首项为0.9，公比为0.1的等比数列求和的极限的问题，结论为
第二种方法，是我读书的时候，单墫老师的弟弟单任老师教我的方法：
作2除以2的除法运算，结果当然是1了
有学生故意不上1，上个0，然后神奇的事情就发生了……
哈哈哈哈，学生们都惊呆了，说单任老师的方法真“皮”啊！
小黑老师点评：
这三道自招题目考察与直觉会产生偏差的一些有趣的数学现象，从初中生的角度出发，说白了，还是检验你是否具备各种有效的数学思想来应对这些问题。这三道题在天明的课堂中都出现了，相信初三的学子们都没有问题！
那些未来将要参加自招的童鞋们，你准备好了吗？
天明书院 小黑老师
2018.3.27
