大家好，这一篇可以看作是群论部分的结尾，这一节的内容说完后，我们期中考试所涵盖的所有内容就已经涉及到位了。（我们本周开环论……）
Prof在lecture中添加了有关可解群与根式方程的相关内容，碍于时间安排紧，我事先不会将这一部分的内容安排在这里。如果对这一方面的内容有兴趣的欢迎私信我，我会考虑加上的。
下一批次大规模的更新可能是临近期末考试的时候了，这需要根据我的学习能力（大雾）来决定是否抽出时间继续更新。我也收到了一些交流和鼓励的私信，真的在这里向大家表示感谢。
在上一节中，我们戛然而止，是为了保证西罗定理的完整性，西罗定理的证明很多也是之前有关轨道，轨道分解相关内容的具体应用，同时轨道分解与群阶数的习题也有很多，我们会抽取一些放到之后的习题中（当然这一节的习题我们会直接给出解答了）。
好了，闲话少叙，我们继续我们的正题。
提供之前笔记的目录：
抽象代数|笔记整理（1）——群，子群，同态抽象代数|笔记整理（2）——同构，划分，陪集抽象代数|笔记整理（3）——陪集与阶，直积，商群，群作用抽象代数|笔记整理（4）——轨道，中心，西罗子群我们开始今天的内容。
西罗第一定理(First Sylow Theorem)我们一步步往下走，首先证明的是第一定理。
Theorem:First Sylow Theorem设 是一个有限群， ，那么 有一个西罗p-子群。
我们证明一下这个结论，证明需要使用第二数学归纳法。对于这种阶数的证明，我们一直都推荐是考虑公式 ，这个公式也会在这里被经常用到。
首先考虑最简单的情况： ，这当然很容易，因为它自己就是一个西罗p-子群。下面考虑一下一般情况。
我们假设对于所有的阶数比 小的情况都是成立的，下面考虑 本身。如果存在一个 的非平凡子群（不是 的子群） ，使得 （这是为了方便讨论简单的情况），这样的话，肯定有 。这样的话，根据归纳假设就可以得到一个 的西罗p-子群，因为 的阶数囊括了 的所有 的因子。所以它也是 的一个西罗p-子群。就证明了结论。
如果不存在这样的非平凡子群，那么对于任意的它的非平凡子群有 ，我们考虑群作用，由于在共轭作用下，有轨道分解公式 ，并且注意到 ，另一方面，因为 是 的一个子群，所以这样的话就满足 ，这样的话回到原来的公式，结合 ，有 ，我们回忆一下上一节中最后提到的那个定理。注意到 是一个交换群，所以我们根据那个定理知道， 有一个 阶子群 ，并且因为这个子群是在 内的，所以我们可以得到 。
回头考虑一下公式，我们可以得到 ，这就可以根据归纳假设得到 有一个西罗p-子群 。
现在我们确实说明了这一点，因此还需要做的一步是把这个已经得到的西罗p-子群再映射回去得到 内的西罗p-子群，我们需要说明它确实存在。于是我们考虑一个映射 （映射规则： ），并且考虑 ，于是对于映射 ，我们可以得到这个是一个满射，并且 （根据第一同构定理想一想为什么），于是容易得到 ，也就是说这个 就是我们要构造的集合，就证明了结论。
在证明过程中出现的一个非常简单常用的性质是这样的：
Proposition:如果 是一个p-群，则 是非平凡的。
用上面证明过程的一部分就好了。
西罗第一定理的应用有一个方面是不动点原理，它会在之后的关于西罗定理的证明中被用到，我们这里给出它的相关内容。
Definition:fixed point设 是一个群， 是一个G-集，如果对于任意的 有 ，也就是说 ，那么 我们定义为不动点。
如果我们定义群作用是共轭作用，那么显然，如果 ，那么 就是不动点。
关于不动点有如下的一个结论。
Proposition:设 是一个p-群， 是一个G-集， ，如果 ，那么 中有 内的不动点。
我们证明一下这个结论，注意到，如果是不动点，那么它的轨道的阶数为1，所以我们考虑对 做一个轨道分解 ，注意到 是一个p-群，所以如果不存在不动点，那么对于所有的 ，都有 ，于是 ，就产生了矛盾。因此结论得到了证明。
关于群的阶数，我们还有个相关的定义。
Definition:simple group设 是一个有限群，如果 只有 两个正规子群，那么称 是一个单群。
我们举一些例子。显然，如果 ，那它当然就是一个单群。
再考虑 ，考虑所有的偶置换集合 ，那么 （这可以当作一个小练习），所以 就不是一个单群。
单群的判断与否与阶数是密切相关的，所以我们先给出它的相关定义。我们之后会用它。
西罗第二定理(Second Sylow Theorem)下面我们给出西罗第二定理的相关内容。
Theorem:Second Sylow Theorem设 是一个群， ，那么
(1)如果 是 的一个p-群，那么 是一个西罗p-子群的子集。
(2)所有的西罗p-子群相互共轭。
这个证明也是有难度的，我们慢慢来。
考虑集合 为所有的西罗p-子群的集合，取定一个 ，那么注意到西罗p-子群对于阶数的要求（要求相等），而共轭作用对于群的讨论是不改变群的阶数的，所以我们可以得到这里的 在共轭作用下是一个G-集。
考虑迷向群 ，那么我们取定 ，就可以得到一个集合 ，那么这样的话 。而注意到， ，那么考虑公式 ，那么由于 ，所以无论 如何，我们都有结论 。
下面我们要考虑的是不动点，因为这个结论引导我们去思考上面的不动点的结论。所以我们考虑集合 。设 是 的一个p-子群，那么 在共轭作用下就是一个H-集（回想一下群作用的集合定义）。这样的话根据之前的定理，说明在 中有一个 下的不动点，这样的话，存在一个 ，对于任意的 ，我们有 ，这样的话有 ，也就是说 。
我们考虑 ，那么 就与 共轭，于是我们有 （回忆一下标准群的定义： ），于是我们有了如下的条件： ，于是有 。
这样的话我们根据第二同构定理，有 ，这样的话根据阶数公式有 ，因为 （想一想为什么），同时 是一个西罗p-子群，于是这样的话， ，结合 ，我们有 ，这说明 ，也就是 。
对于第二个，我们设 也为一个西罗p-子群，那么 ，结合 可以得到 ，这就证明了结论。
证明是有很大的复杂度的，其中有一个性质我们需要单独拉出来说一下，因为我们在之后也有可能会大量碰到这性质。
Proposition:，那么
我们证明一下这个结论，对于第一部分，先证明封闭性，我们需要考虑任意的两个元素 ，那么 （注意到，因为 ，所以 ，有 ，也就是对于任意的 ，存在 使得 ，在证明中换了一个标记），就证明了这个部分。
单位元的部分很显然，我们跳过不说，对于逆元，我们对于任意的 ，其在 下的逆元显然是 ，而 （注意到 ），所以逆元也存在，这就证明了结论。
对于第二部分，我们考虑任意的 ，那么只要证明 ，而这个是很显然的（注意看中间三个元素）。
这个结论的证明思想也是之前我们涉及到的构造单位元等。
我们在看最后的西罗第三定理之前，先花点时间看一个之前的西罗定理的一个例子，这个性质本身也会在第三定理的证明中用到。
Proposition:设 是一个群， 是 的一个西罗p-子群，那么 只含有一个西罗p-子群等价于
我们证明一下这个结论，首先由西罗第一定理可以知道，一定有一个西罗p-子群，设为 ，那么如果 ，则所有与其共轭的群都是 ，根据西罗第二定理知道，所有的西罗p-子群与 共轭，从另一方面说西罗p-子群只有 ，就证明了结论。
反过来，如果 只有一个西罗p-子群，那么考虑西罗p-子群 ，则其余的所有的西罗p-子群的形式都是 ，但是由于只有一个，所以 对于任意的 成立，这就证明了结论。
所以这个结论是成立的。
下面来看最后的第三定理
Theorem:Third Sylow Theorem设 是一个群， ， 是一个素数，再设 为 的西罗p-子群的个数，那么有
(1)
(2)
我们证明一下这个结论，对于第一个是很容易的，因为我们上面考虑的是 是所有的西罗p-子群的集合，那么有 ，而又有 ，所以很容易得到结论。
对于第二个，我们继续考虑 ，并且固定一个 为一个西罗p-子群，那么可以得到 是一个H-集。这样的话就可以考虑对 关于 做一个轨道分解。
考虑1另一个西罗p-子群 ，并且考虑
首先我们要说明，当这个轨道只有一个元素时， 。
如果只有一个元素，那么就有 ，那么有 对于任意的 成立，这样的话 ，另一方面 ，这样的话根据上面的性质，我们就可以得到 （这里要注意到， ，也就是说 都是 的西罗p-子群）。
那么我们考虑轨道分解，有 ，由于 ，而 又是一个p-群，所以 ，而 ，于是两边对p取模就可以得到结论。
西罗第三定理的最常见的应用在于判断一个具有一定阶数的群的一些性质。由此而生的又有两个性质，我们慢慢来说。
Proposition:设 是一个群，那么如果 ，那么
我们证明这个结论，取 为西罗p-子群，注意到 ，那么我们根据 ，有 ，这样的话， 就证明了结论。
第二个性质是这样的
Proposition:设 是一个群， 1,(p,m)=1, p ~\text {is a prime}' eeimg='1'> ，那么如果 是一个单群，则
我们证明依然采用同样的记号，那么 ，因为 是一个单群，而 ， ，这就说明 不是一个正规子群，那么 1' eeimg='1'> 。
考虑同构定理，构造映射，设 ，那么再设 是 在 中的所有陪集，那么对于所有的 ，考虑两个映射 （映射规则： ），以及 （映射规则： ）（这个思想我们之前在第三节提到过），于是结合 ，有 ，结合 ，就可以得到 （考虑 的阶数），这就证明了结论。
我们可以看出，性质的证明过程是有很多之前已经提过的证明思想的，因此归纳总结一下会有点好处。
下面来看一些关于西罗定理的例子吧。
Problem 1证明一个阶数为15的群是一个循环群。
考虑阶数，那么由于 ，所以我们考虑 ，由于性质我们可以得到 ， ，这样就可以得到 。那么这样的话，由于群的阶数为素数，所以可以说这两个子群内分别存在一个元素 满足 。并且它们都是正规子群。那么考虑元素 ，注意到 ，那么可以知道 在两个子群的交集内，但它们的交集显然只有一个元素 ，所以 ，也就是 ，这样的话就容易得到 。这就找到了一个元素 使得 ，所以结论得到了证明。
Problem 2证明一个阶数为72的群不是单群。
同样的，我们考虑 ，那么我们考虑 ，根据性质， ，这样的话 ，如果 ，由于只有一个西罗p-子群，那么这个群就一定是正规子群（我们之前说过这个性质），所以就直接成立了。如果 ，情况稍微有些麻烦。
我们考虑所有西罗-3子群的集合 ，那么考虑共轭群作用，那么对于任意的 ， ，由于所有的西罗-3子群是互相共轭的，所以这个群作用相当于做了一个置换。
之后，我们就可以做一个群同态 （映射规则: ），这样的话，由于 ，而且 ，那么 ，结合 ，就可以得到 就是一个正规子群，但是是一个非平凡的子群，就证明了它不是一个单群。
这个题目如果对于2的情况讨论，情况会非常多，就会更加麻烦，读者不妨一试。
所以可以看出，对于不同的题目，其做题的方法也不一样。
小结本节把关于西罗定理的驴桥搭了起来，同时也给出了相关的证明思想和例子。有很多地方都用到了我们之前涉及到的内容，因此理解起来也具有相当的难度。但还好，群论的主要内容已经到此为止了，至少可以松一口气了。
本系列的更新暂时告一段落，我们之后会根据时间和课程难度考虑更新环论，域论的相关内容。
感谢大家能够一直支持我写下去！比心！
——————————————————上节习题答案————————————————
从两个方向来考虑
如果 ，那么 ，也就是说 ，也就是说 ，也就是说 ，也就是说 ，遍历 就可以得到 。
反过来，如果 ，那么有 ，反推可以得到 ，这就证明了结论。
我们考虑 对 的共轭作用，设 不是 的子集，那么我们可以考虑 1}|G.n_i|' eeimg='1'> （因为如果 中有 的元素，它们的轨道阶数为1，没有的地方自然就到了别的地方），考虑 以及 是奇数，我们有 ，这样的话只有 ，但是因为 ，所以有 ，这显然就错了。所以原结论正确。
考虑集合 ，那么因为 ，我们可以考虑 到 上的一个共轭作用，这样就有 ，而另一方面 ，所以 ，这样的话就证明了结论。
这道题的思路比较难想，逻辑大概是：考虑去掉 之后的集合的轨道分解和阶数讨论。
这道题也可以硬刚，使用费马小定理就可以了，读者不妨一试。
对于第一问，我们考虑两个共轭的群，那么存在 使得 ，也就是 （我们之前已经用过这个结论了），于是 ，这样的话，根据我们的推理过程，就可以得到这样的一个映射，它们是一一对应的（这很好证），于是这个结论就成立了。
对于第二问，首先容易得到 ，考虑 ，那么有 ，那么考虑元素 ，可以证明它是一个在 内的元素，就证明了结论。
对于第三问，设 ，那么 就是一个自同构，所以我们考虑一个映射 ，映射规则为 ，那么容易证明这是一个群同态，并且 ，于是根据第一同构定理就可以得到我们的结论。
—————————————————本节习题及答案————————————————
碍于时间关系（事情太多……），我们这里不再分析思路了，我们会直接从习题中进行截图，也请大家谅解。
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